Родился 2 ноября 1923 года в Тифлисе, Грузия, ЗСФСР.
Учёба в ГИТИСе и Литературном институте
В 1949 окончил театроведческий факультет ГИТИСа, курс Павла Маркова, параллельно учился в литературном институте, курс Сельвинского.
Драматург и киносценарист
По окончании учёбы Анатолий начинает заниматься драматургией и сценарной деятельностью.
Герои сценариев Анатолия Гребнева, в большинстве своем его современники, оживали на экране не только потому, что их играли выдающиеся актеры, но и благодаря тонко прописанным характерам. Десятилетия спустя, пересматривая такие картины, как: "Дикая собака Динго", "Старые Стены", "Июльский Дождь", "Частная жизнь", "Успех", "Прохиндиада или бег на месте", "Время желаний", и многие другие - мы видим портрет времени, и оказывается, что поднятые в тех фильмах человеческие проблемы по прежнему актуальны. По сценариям Анатолия Борисовича поставили одни из лучших своих фильмов Марлен Хуциев и Юлий Райзман. Сыграли яркие роли Людмила Гурченко, Михаил Ульянов, Галина Польских, Леонид Филатов, Анатолий Папанов…
Гребнев получил за сценарий телефильма "Карл Маркс" Ленинскую премию.
Семья
Анатолий Гребнев отец кинодраматурга и режиссёра Александра Миндадзе. Дед режиссёра и сценариста Екатерины Шагаловой.
Трагический конец
Трагически погиб утром 19 июня 2002, переходя дорогу около Дома творчества в Матвеевском, куда приехал, как всегда, с намерением поработать. Несчастный случай, был сбит автомашиной. Только что был закончен очередной фильм по его сценарию — «Кино про кино», снятый Валерием Рубинчиком. Планировались новые проекты — «последний сценарист», как называл себя Гребнев, никогда не сидел без работы. Еще совсем молодым человеком он начал вести дневник. Последняя дневниковая запись: «Еду в Матвеевское. Зачем?». Похоронен в Москве на Троекуровском кладбище.
Из воспоминаний Вероники Долиной
Дорогой мой Анатолий Борисович. Мой именно дорогой. Волшебные эпизоды вы написали для меня. Другим – другие, а мне – мои. Школьницы 60-х, я и ваша Ленка, одноклассницы, мы катим в троллейбусе к «Аэропорту», и вы, Ленкин папа, оглушаете меня вопросом, он легкий, но очень уж точный: «А что, деточка, у тебя по русскому, а что по литературе??». У меня-то 4 и 5, но ведь уйму лет я вспоминаю, как внезапно и направленно оно прозвучало. Одно из первых посланий. И другие были. Начало 88-го, звонок: «Вероничка, из США приехал мой друг, такой Александр Моисеевич Володин, книжку твою привез, вышла в Париже. Ты в курсе?» Вот и Александра Моисеевича я заполучила из ваших рук... Еще послание: 92-й год, ровно десять лет тому. Самолет на «Кинотавр». Озираюсь, смущенная, чужая в кино… И вдруг – не чужая: «К нам!» — машут Швейцеры, улыбается Гриша Горин... Место же держит мне Анатолий Борисович. Знакомься, говорит, это режиссер Саша Муратов. Ну и полетели. Дорогой мой Анатолий Борисович, я и Саша Муратов, и наш семилетний Муратов Матвей – это ведь не про кино. Я все знаю наизусть, само собой. И «Июльский дождь», и «Дневник директора», и «Прохиндиаду», и «Молодые годы Маркса», и «Дом для богатых», и «Кино про кино». Это наши молодые годы, да и детские, вы были и есть с нами.